“Eratóstenes era de Cirene (Shahhat en la actualidad, en Libia). Nació
en el año 273 a.C. en una rica familia, gracias a lo cual pudo tener una educación
exquisita en Atenas. Amigo y admirador de Arquímedes fue el tercer director de
la Biblioteca de Alejandría, cargo que ocupó más de 40 años. Esta Biblioteca
era el mayor centro científico y cultural del mundo con casi 800.000 pergaminos
(equivalentes a unos 100.000 libros). Fue astrónomo,
historiador, geógrafo, filósofo, poeta, crítico teatral y matemático”.
DESARROLLO
Su principal contribución a la astronomía fue
sostener que la Tierra era redonda y calcular la longitud de su circunferencia
con bastante aproximación para los recursos de la época.
“Medición de la circunferencia terrestre”.
La idea se le ocurrió por primera vez a Eratóstenes
de Cirene.
“Los griegos de la época de Eratóstenes sabían que
la Tierra era redonda. No es cierto que Colón fuera el primero en proclamar la
redondez del mundo, suscitando el escarnio de sus contemporáneos. Lo que no
sabían era de qué tamaño era la pelota mundial”.
“En un papiro que encontró en la biblioteca de
Alejandría, Eratóstenes leyó acerca de un lugar llamado Siena (hoy Asuán),
situado al sur de Alejandría, donde era fama que los rayos del Sol caían a
plomo el día del solsticio de verano. Esto se sabía porque en Siena había un
pozo muy profundo en cuyas aguas se podía ver reflejado el Sol justo al
mediodía en el solsticio de verano. Clavando una vara en el suelo en Alejandría
un solsticio de verano de aquellos, Eratóstenes observó que allí el Sol no
pasaba exactamente por el cenit. La vara proyectaba sombra en Alejandría, mas
no en Siena”.
“Pensando geométricamente (en particular aplicando
el principio de los ángulos alternos internos), Eratóstenes dedujo lo
siguiente: si los rayos del Sol inciden directamente en Siena, pero en
Alejandría hacen un ángulo con la vertical, ese ángulo es igual al que
formarían las verticales de las dos ciudades si las prolongáramos hasta el
centro de la Tierra, es decir, es igual a la diferencia de latitud geográfica
entre Siena y Alejandría. Llamemos a este ángulo A.
Una vez medido el ángulo A, Eratóstenes contrató a
un camellero para que se fuera caminando a Siena y midiera la distancia entre
las dos ciudades. En unidades contemporáneas, la distancia resultó ser de cerca
de 840 kilómetros.
El ángulo A, como comprobó Eratóstenes, era de
alrededor de 7.5°. La distancia de Alejandría a Siena, le dijo el cansado
camellero, era de unos 5250 estadios. Un estadio es una medida antigua que
equivale a cerca de 157.5 metros. Con esta interesante información en manos,
Eratóstenes se dijo: el ángulo A (7.5°) es la cuadragésima octava parte de un
círculo completo (360°), por lo tanto, la distancia entre Alejandría y Siena
(5250 estadios) debe estar en la misma proporción a la circunferencia total de
la Tierra, o sea, ésta debe ser 48 veces 5250 estadios, o 252,000 estadios:
De donde:
(360° /A) x distancia Alejandría-Siena = circunferencia Tierra
Es decir:
(360 / 7.5) x 5250 = circunferencia Tierra -------------------------- = 252,000 estadios
Como 1 estadio = 157.5 metros:
circunferencia Tierra = 40,000 kilómetros, aproximadamente”.
“El resultado de Eratóstenes está asombrosamente próximo a la
cifra que se obtiene con métodos modernos y más exactos”.
"Cerca de un siglo más tarde, alrededor del año 150
a.C., otro científico, llamado Posidonio, determinó la circunferencia de la
Tierra por otro método, que implicaba medir la altura sobre el horizonte de la
estrella Canopus, la más brillante del cielo nocturno después de Sirio. En un
punto de sus cálculos Posidonio echó mano de las cifras de Eratóstenes, lo cual
no le impidió obtener un valor de la circunferencia de la Tierra que discrepaba
considerablemente del de su antecesor. Muy ufano, Posidonio anunció que la
Tierra tenía un perímetro de 180,000 estadios, o sea, 28,350 kilómetros
--equivalente a unos ¾ del valor que había obtenido Eratóstenes. Cuando un
marino ambicioso llamado Cristóbal Colón trató de convencer a los cosmógrafos
de la corte de Isabel la Católica de que se podía llegar de España a China
navegando hacia el oeste, tomó prestado el cálculo de Posidonio de la
circunferencia de la Tierra”.
COSMOS Carl Sagan.
Eratóstenes y la circunferencia de la
tierra.
Método científico.
* Reflexiones
ØLo que me parece importante es que Eratóstenes no fue el primero en afirmar que la Tierra
fuera redonda, pero sí fue el primer gran científico en comprobar la
redondez y medidas terrestres, demostrándolo
matemáticamente.
ØDurante la edad media nunca se olvidó totalmente estos
conocimientos. El gran retroceso cultural de la humanidad alcanzo a todos salvo
quienes conservaron los libros de los grandes pensadores griegos.
ØYo me pregunto que no hubieran hecho Pitágoras,
Arquímides, Eratóstenes entre otros, si hubieran tenido al alcance el
instrumental científico tan sofisticado como se dispone hoy. Desde luego su
poder deductivo era maravilloso. * Comentarios
ØA Eratóstenes también le debemos otros fantásticos
trabajos, como la estimación de la distancia de la Tierra al Sol y a la Luna,
la invención de la esfera armilar, o la famosa “Criba de Eratóstenes”, un
algoritmo matemático capaz de darnos todos los números primos menores que un
número natural dado.
ØSorprendente exactitud que consiguió en el cálculo de la
medición de la circunferencia terrestre
con tan pobres medios.
ØEratóstenes destacó en muchos campos de la ciencia,
pero sus principales hallazgos los realizó en geografía y geometría.
* Preguntas
¿Qué es la criba de Eratóstenes?
¿Cómo hubieran sido, a la misma hora y en lugares diferentes, las sombras
de los palos si la Tierra fuera plana?
¿Cómo supuso Eratóstenes que llegaban los rayos solares a la superficie
de la tierra?
¿Si las ciudades de Alejandría y Siena no estuvieran en el mismo
meridiano, sería correcta la deducción de Eratóstenes?
Cálculo de la altura de la iglesia de
la colonia de Loma Bonita de Puebla.
Para calcular la altura de la iglesia, medí mí estatura y la
altura de la iglesia en la foto. Luego yo conozco mí altura, entonces planteo
la siguiente regla de tres:
Altura real Gerardo =Altura real iglesia Altura foto Gerardo
Altura foto iglesia
1.70 metros = x 0.016 Metros
0.107 Metros.
x= (1.70)(0.107)
0.016
x= 11.36
Solución: La altura de la
iglesia es aproximadamente de 11 metros 36 centímetros. Y la razón de semejanza
es:
1.70 metros = 11.36 Metros = 106 0.016 Metros
0.107 Metros
El fundamento del cálculo anterior reside en los conceptos provenientes de la siguiente fuente consultada:
Concepto de semejanza Dos triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño. Sin
embargo, si dos triángulos tienen la misma forma, pero no necesariamente el
mismo tamaño, se denominan triángulos semejantes.
Dos triángulos son semejantes si los ángulos
correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son
proporcionales:
Ángulos correspondientes congruentes:
Lados correspondientes proporcionales:
La razón de semejanza se denomina k.
Entonces, ABC ~ DEF (triángulo ABC
semejante al triángulo DEF)
ØLo que me parece importante de esta semana de
trabajo es el volumen de aprendizajes adquiridos ya sea por investigación, observación
y construcción.
ØLa clase del sábado fue muy interesante ya que comprendí
la comprobación de algunos teoremas como: el de la suma de los ángulos internos
de los triángulos suman 180°, por medio de la construcción y elaboración de un triángulo,
el recortar el mismo y por ultimo unir sus ángulos, que forma tan practica y
tan interesante de demostrarlo que la actividad la efectuare con mis alumnos.
ØUna de las actividades que me gustó mucho es
tomar una foto matemática, las sugerencias de tomar fotos de belleza matemática
tomando en cuenta la regla de los tercios, rotundamente la desconocía por lo
que completamente agradezco al Dr. Daniel Mocencahua su guía y su paciencia.
ØTrabajamos además con GeoGebra realizando puntos
y rectas notables del triángulo, (medianas, bisectrices, alturas, mediatrices,
ortocentro, incentro etc.)
¡Completamente
que eficaz es la herramienta para enseñar a los alumnos!
ØQuedo de hace mil años la tarea de un mapa
conceptual de triángulos, actividad interesante que desarrolla las habilidades
de análisis y síntesis de información.
ØSe realizó también la disección de Dudeney, del triángulo
que se convierte en cuadrado y viceversa, me parece muy interesante realizar
esta actividad con alumnos.
* Comentarios
ØLos conocimientos aprendidos de esta materia considero que
son herramientas valiosísimas para mí formación.
ØLas disecciones son una forma didáctica de enseñar
geometría, lo mejor de todo lo estoy aprendiendo en esta materia a hacerlo. Siento que entiendo mejor los
temas y puedo trasmitir los conocimientos mejor a los alumnos.
* Preguntas
¿Cuáles fueron los
aportes de Bertrand Russell al pensamiento?
sábado, 9 de febrero de 2013
Tales de Mileto
* Reflexiones
ØLo que parece importante aquí es:
Destacar
que Tales de Mileto "es considerado por la tradición
historiográfica occidental como el iniciador de la
indagación filosófico-científica acerca del cosmos (como un todo y
también en aspectos particulares del mismo), distinguiéndose por ofrecer las
primeras explicaciones registradas respecto de eventos naturales que no apelan
a entidades divinas sino que se sustentan en observaciones e inferencias
pasibles de ser constatadas y discutidas. Es señalado, entonces, como el primer
gran impulsor en Grecia de la investigación científica (en disciplinas como las
matemáticas y la astronomía) y como el primer filósofo de
la historia de la filosofía occidental, estando a él relacionados
Anaximandro y Anaxímenes, denominándose tradicionalmente al conjunto de los
tres como la escuela jónica o de Mileto".
Ø Es importante aquí destacar sus aportes matemáticos:
"Se atribuyen a Tales varios descubrimientos
matemáticos registrados en los Elementos de Euclides: la
definición I. 17 y las proposiciones I. 5, I. 15, I. 26 y III. 31".
Semicírculo que ilustra un teorema de Tales.
"Asimismo es muy conocida la leyenda acerca de un método de comparación
de sombras que Tales habría utilizado para medir la altura de las pirámides
egipcias, aplicándolo luego a otros fines prácticos de la navegación. Se supone
además que Tales conocía ya muchas de las bases de la geometría, como el hecho
de que cualquier diámetro de un círculo lo dividiría
en partes idénticas, que un triángulo isósceles tiene por fuerza dos ángulos
iguales en su base o las propiedades relacionales entre los ángulos que se forman
al cortar dos paralelas por una línea recta perpendicular.
Los egipcios habían aplicado algunos de estos conocimientos para la
división y parcelación de sus terrenos. según los pocos datos con los que
se cuenta, Tales se habría dedicado en Grecia mucho menos al espacio (a las
superficies) y mucho más a las líneas y a las curvas, alcanzando así su
geometría un mayor grado de complejidad y abstracción".
Ø Es Importante destacar en el campo filosófico sus aportaciones:
"Tales de
Mileto, está considerado el primer filósofo de Occidente, porque fue el
primer hombre de occidente (del que se tiene constancia), que trató de dar una
explicación racional a distintos fenómenos del mundo. Y es que, en su tiempo,
las únicas explicaciones que existían, eran las de la Tradición mítica;
estas explicaciones míticas, eran fruto de la fantasía
y de la imaginación y muchas veces incoherentes. Pero Tales buscaba, una
explicación no fantástica, si no racional y no concreta si no universal y esto
es lo que se conoce, como "el paso del mito al logos",
el paso de la fantasía a la razón, puesto que se relaciona la palabra
griega logos, con la palabra española razón. Así pues, siendo el primero que
hizo esto, no podemos esperar una filosofía profunda e interesante en Tales,
sino más bien una filosofía de valor histórico y anecdótico".
ØEs importante mencionar su pensamiento:
"La explicación universal y racional que sostuvo
Tales, tenía el agua como elemento principal. Es para él el agua, origen de
todas las cosas que existen, el elemento primero.
En cuanto al alma, la considera como dadora de
vida, movimiento y divina. Como en la época en la que vive, todavía no se
diferenciaba entre seres vivientes y no vivientes. Tales atribuye vida al agua,
porque como el agua se mueve sola, esta debe
tener alma, puesto que el alma es lo que hace moverse las cosas. Y también es
divina (esta llena de dioses) porque el alma es divina para él. Así por
lo tanto, el agua para Tales es, el origen de todo, esta llena de dioses y
tiene vida propia. Y de forma parecida, que con el agua, razona para con
las piedras imán. Como estas se mueven solas, piensa que están vivas, o que
"hay algo vivo en ellas".
Y por último, Aristóteles en Acerca
del cielo y Séneca en Cuestiones naturales afirman
que Tales sostenía que la tierra sobre la que pisamos es una especie de isla
que "flota" sobre el agua de forma parecida a un leño y por ello la
tierra a veces tiembla. Al no estar sostenida sobre unas bases fijas si no que
como está flotando sobre el agua, esta la hace tambalearse".
Ø Es imperioso señalar la importancia de su labor:
"Con sus aportaciones, se puede entender claramente por qué se considera a Tales de Mileto como
el primer filósofo de occidente, y es que, fue el
primer hombre occidental (del que se sabe) que trató de conocer la verdad del
mundo mediante explicaciones racionales y no fantásticas
o místicas, como hasta entonces se hacía en la Antigua Grecia por
medio de los mitos.
Y por lo tanto, Tales es verdaderamente importante, para la Historia de la
filosofía occidental. Fue el iniciador de la misma y con ello, creó un legado
de búsqueda y amor a la sabiduría, que continuará inmediatamente con Anaximandro y Anaxímenes,
y que llegará a su esplendor, en la Antigua Grecia; más de un siglo después con Sócrates, Platón y Aristóteles:
tres filósofos que se han convertido en los pilares del pensamiento que hoy
conocemos bajo el nombre de Filosofía Occidental".
Ø Mis conclusiones tentativas son:
Es muy probable que haya sido uno de los primeros
hombres que llevaron la geometría al mundo griego,
y Aristóteles lo consideraba el primero de los "filósofos de la naturaleza". Muchas de estas ideas parecen provenir
de su educación egipcia. Igualmente, su idea de que la tierra flota sobre el
agua puede haberse desprendido de ciertas ideas cosmogónicas del Oriente
próximo.
Ø Teorema de Tales:
Tales de
Mileto.
Existen dos teoremas en
relación a la geometría clásica que reciben el nombre de teorema
de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en
el siglo VI a. C.
Los dos teoremas de Tales
"El primero de ellos explica
esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno
previamente existente ("los triángulos semejantes son los que tienen
iguales ángulos"). Mientras que el segundo desentraña una propiedad
esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos
("encontrándose éstos en el punto medio de su hipotenusa"), que a su
vez en la construcción geométrica es ampliamente utilizado para imponer
condiciones de construcción de ángulos rectos. Si tres o más rectas paralelas
son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales
determinados por las paralelas, son proporcionales".
Primer teorema
Como definición previa al
enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si
tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre
sí. El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la
geometría, al saber, que:
Teorema primero
"Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus
lados, se obtienen dos triángulos semejantes".
Tales de Mileto
"Según parece, Tales descubrió
el teorema mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas.
De hecho, el primer teorema de Tales puede enunciarse como que la igualdad de
los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de
paralelismo. Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su
fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos,
a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
<=== Corolario ==> Del
establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos
triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello
significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se
mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se
observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes.
Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los
lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D
y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos
triángulos son semejantes, se cumple que:
Este corolario es la base de
la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Herodoto, el propio
Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de
Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza
entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
Del primer teorema
de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho
teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas a, b, c
son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que
determinan en ellas son proporcionales.
Una aplicación
inmediata de este teorema sería la división de un segmento en partes iguales, o
en partes proporcionales a números dados (con ayuda de compás, regla y escuadra
o cartabón)".
== Segundo teorema
fig. 2.1 Ilustración
del enunciado del segundo teorema de Tales de Mileto.
"El segundo teorema de Tales de
Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos
rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en
el siguiente enunciado:
Teorema segundo
Sea B un punto de la
circunferencia de diámetro AC, distinto de A y
de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo
rectángulo.
Tales de Mileto
Este teorema (véase fig.
2.1 y 2.2), es un caso
particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la
aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Demostración
fig.
2.2 Siempre que ACsea un diámetro,
el ángulo B será constante y recto.
fig. 2.3 Los
triángulos AOB y BOC son isósceles.
En la
circunferencia de centro O y radio r (véase fig.
2.3), los segmentos
OA, OB y OC
Son iguales por
ser todos radios de la misma circunferencia.
Por lo tanto los
triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los
ángulos del triángulo ABC es:
Dividiendo ambos
miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:
Con la expresión
anterior el segundo teorema queda demostrado.
Corolarios
(Corolario 1) “En todo triángulo rectángulo la
longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la
hipotenusa.”
Ya que aplicando
el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale
la igualdad, OA = OB = OC = r,
donde OB es la mediana de la hipotenusa, (véase fig.
2.3).
(Corolario 2) “La circunferencia circunscripta a todo
triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su
circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.”
El corolario 2
también surge de aplicar el teorema anterior, para una comprensión intuitiva
basta observar la fig. 2.2".
Aplicación (Tales - teorema segundo)
Construcción de tangentes (líneas rojas) a
una circunferencia k desde un punto P,
utilizando el «segundo teorema de Tales».
"El “segundo
teorema” (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las
tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por
un punto P conocido y externo a la misma (véase figura).
Se supondrá que
una tangente cualquiera t (por ahora desconocida)
toca a la circunferencia k en un punto T
(también desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier
radio r de la circunferencia k es
perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio
define en la misma, por lo que concluimos que ángulo OTP es
necesariamente recto.
Lo anterior
implica que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando
el «corolario 2 del teorema segundo de Tales» podemos deducir que entonces el
triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de
radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.
Entonces marcando
el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y
haciendo centro en el mismo, podemos dibujar una segunda circunferencia
auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.
Esta última
circunferencia trazada se intersecará con la circunferencia k en
dos puntos T y T', estos son
justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente
tangentes a k y además pasan por el punto P,
ahora ya conocidos los puntos T y T' solo
basta trazar las rectas TP y T'P (rojas
en la figura) para tener resuelto el problema".
Leyenda
"Según la leyenda (relatada por Plutarco ),
Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (conocidas como Keops, Kefrén y Micerino),
construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de
esta civilización, quiso saber su altura. De acuerdo a la leyenda, trató este
problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos
solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de
semejanza (teorema primero de Tales) entre dos
triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D)
a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de
su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada
en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B)
son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra. Realizando las
mediciones en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a
la base de la cara desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a
su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud
total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de
la misma".
Como en triángulos
semejantes, se cumple que,
por lo tanto la altura de la pirámide es
con lo cual resolvió el problema.
* Comentarios
ØTales fue considerado por sus contemporáneos como uno de
los siete sabios de Grecia. Los otros
seis sabios son: Cleóbulo de Lindos, Solón de Atenas, Quilón de Esparta, Bías
de Priene, Pitaco de Mitilene, Periandro de Corinto. ØLa denominación de Siete Sabios fue el
título dado por la tradición griega a siete antiguos sabios griegos (alrededor
del 620-550 a. C.), renombrados por su sabiduría práctica que consistía en una
serie de aforismos memorables. Merecieron dicho nombre debido a que sus
enseñanzas y frases son una guía de la vida de los hombres. Este conjunto
incluye tanto a filósofos como a estadistas o legisladores. ØAlgo
que me llama la atención es que según las referencias que nos han trasmitido
los antiguos sobre su cosmología era que pensaba que la tierra estaba sobre el
agua flotando como disco. ØMe
fascino la investigación de Tales de Mileto ya que fue un ser excepcional con
importantes aportes a la humanidad en los campos de la filosofía, matemáticas y
astronomía. ØLa
dosis de cultura en cuanto a su pensamiento filosófico aunado con conocer la
importancia de sus dos teoremas me son de gran valía para mí formación.
* Preguntas
¿Por qué para los filósofos
de la Escuela de Mileto la primera causa de lo real tiene que ser eterna y de carácter
material?
¿En la llamada Escuela de
Mileto se suele incluir, además de Tales de Mileto a?
¿Para Tales el elemento originario de la realidad era?
¿La explicación que ofrece Tales de la realidad está basada en?
