domingo, 5 de mayo de 2013

* TARJETAS FRACTALES



* TARJETAS FRACTALES


Ø  En la clase pasada se abordó el tema de los fractales.

Recordando lo anterior, la palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.



Conjunto de Mandelbrot




Conjuntos de Julia

Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal.


Resumen de las propiedades de los fractales:
  • Dimensión no entera.
    la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.
  • Compleja estructura a cualquier escala.
    Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.
  • Infinitud.
    Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.
  • Autosimilitud en algunos casos.
    Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.



Ø Kirigami y origami

El kirigami es el arte del papel recortado, así como el origami lo es del papel plegado.


Ø  Ventajas del uso del Kirigami y origami

    El kirigami y origami son una gran ayuda en la educación, trayendo a quien lo ejercita grandes beneficios y grandes cualidades, no sólo a los estudiantes que lo realicen, sino también le será bueno a cualquier persona; algunas de ellas son:
  • Desarrollar la destreza, exactitud y precisión manual, requiriendo atención y concentración en la elaboración de figuras en papel que se necesite.
  • Crear espacios de motivación personal para desarrollar la creatividad y medir el grado de coordinación entre lo real y lo abstracto.
  • Incitar al alumno a que sea capaz de crear sus propios modelos.
  • Brindar momentos de esparcimiento y distracción.
  • Fortalecimiento de la autoestima a través de la elaboración de sus propias creaciones.


Ø  Así pues la misión es elaborar una tarjeta fractal con origami o kirigami.


    A continuación presento evidencias de las tarjetas fractales realizadas:

   La primera tarjeta elaborada fue la siguiente:


   El siguiente prototipo por etapas fue:





   Versión final



* Comentarios

Ø Me pareció sumamente interesante la actividad de la elaboración, redujo un poco el estrés que siento.

Ø  Realmente me originó motivación realizar las tarjetas fractales y salir de la rutina.

Fuentes consultadas:







   
   







domingo, 28 de abril de 2013

COMENTARIO SOBRE EL VIDEO INSPIRATIONS.






Temas vistos de aritmética y geometría  que están relacionados con elementos que aparecen en el video.

Aritmética
Geometría
Un grano de trigo por la primera casilla del tablero del ajedrez,  dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente
Se aprecia en el video: Los sólidos platónicos.
Teoría de números
El ultimo Teorema de Pierre Fermat
Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros xy y z, tales que se cumpla la igualdad:
Existe un tablero con esta ecuación

Aunque entra en relación también con
geometría con ley de cosenos.

Tableros de figuras geométricas.
Fracciones
Existe un tablero con la identidad de Euler
ei3.14 + 1= 0


Geometría diferencial de curvas, aportación de Carl F. Gauss

Esferas y La banda de Möbius


Los cuadros de Alberto Durero y Leonardo da Vinci  (el hombre de vitruvio relacionados con la razón dorada.

Fractales
aparece la obra  "La gran ola de Kanagawa", también conocida simplemente como La ola o La gran ola, es una famosa estampa japonesa del pintor especialista  ukiyo-e,


Rotación y traslación forman el tablero de ajedrez.

Topología.
 El problema de los puentes de Königsberg resuelto por Leonard Euler.
Descripción: Artículo bueno


Los lagartos encima de un dodecaedro  y la teselación. Además recuerdan la obra de M.C. Escher ascendiendo y descendiendo.


miércoles, 24 de abril de 2013

FRACTALES


Bitácora 12
FRACTALES

* Reflexiones sobre la clase del sábado
20 de abril de 2013


Benoit Mandelbrot, el padre de los fractales


 Conjunto de Mandelbrot


Ø  Todas las clases de la materia de geometría han sido valiosas y trascendentes, la clase de este sábado no ha sido la excepción nuevamente he aprendido un volumen impresionante de conocimientos.

Ø  La clase del sábado fue muy interesante ya que el maestro Daniel Mocencahua nos dio una interesante plática de la historia de la educación basada en dos preguntas. ¿Cómo enseñar? Y ¿Cómo aprender?
     En un recorrido completo desde la antigüedad comenzando con  Platón y la academia, tocando aspectos de la edad media donde el modelo educativo estaba formado por lo que se llama el cuadrivium y el trivium. El primero estaba constituido por geometría, aritmética, astronomía y música. El trivium: por retórica, gramática y dialéctica. En el renacimiento se mencionó la trascendencia de la importante figura de Leonardo da Vinci.
    Llegando a la actualidad, el ¿Cómo aprendemos? Ha orientado el trabajo de investigación e intervención de científicos sociales, que a lo largo de los años han construido muchas teorías que pretender explicar esa pregunta, conocidas como Teorías del Aprendizaje, destacando dos grandes modelos cognitivos, el conductismo y el constructivismo. De paso se explicaron los temas de metacognición, el aprender haciendo, aprendizaje del error y el razonamiento secuencial.
    Esta plática interesante además de provocarme reflexionar sobre el tema expuesto, me inspiró las siguientes ideas:
    El cambio de los comportamientos de los actores tradicionales, el surgimiento de nuevas identidades sociales y el papel fundamental que tiene la cultura para establecer los lazos mínimos entre unidad y diversidad, hacen que la educación tenga que ampliar sus campos de referencia en la sociedad del conocimiento, debe flexibilizar sus formas tradicionales de acción y, sobre todo, contribuir decisivamente a desarrollar nuevos códigos culturales que generen al mismo tiempo, defensa de la tradición e iniciativa ante la innovación. La educación tiene la gran misión de convertir las identidades de resistencia y las que legitiman el poder en identidades proyecto; vale decir que las transforma en nuevos sentidos de la acción que aprovecha oportunidades, discute críticamente fundamentos, cuestiona la injusticia, defiende la libertad de expresión, busca la solidaridad social y la convivencia como criterios fundamentales  del desarrollo social.
    La educación debe estar llena de capacidades creativas para saber coordinar, articular, potenciar fuerzas, incluir divergencias y motivar la participación de los diferentes agentes sociales e institucionales. Hoy más que nunca, es importante para los niños y jóvenes integrarse al conocimiento de las diversas disciplinas humanísticas, científicas y tecnológicas, ya que de ello dependerá su acceso a las distintas  oportunidades; así como el desarrollo social y general, mejorando la calidad de vida.

Ø  En la clase se abordó el tema de los fractales.

La palabra “fractal” proviene del latín fractus, que significa “fragmentado”, “fracturado”, o simplemente “roto” o “quebrado”, muy apropiado para objetos cuya dimensión es fraccionaria. El término fue acuñado por Benoît Mandelbrot en 1977 aparecido en su libro The Fractal Geometry of Nature. Al estudio de los objetos fractales se le conoce, generalmente, como geometría fractal.


Un fractal es un conjunto matemático que puede gozar de autosimilitud a cualquier escala, su dimensión no es entera o si es entera no es un entero normal.


Resumen de las propiedades de los fractales:
  • Dimensión no entera. Dimensión fraccionaria
    la dimensión de un fractal no es un número entero sino un número generalmente irracional.
  • Compleja estructura a cualquier escala.
    Los fractales muestran estructuras muy complejas independientemente de la escala a la cual lo observemos.
  • Infinitud.
    Se consideran infinitos ya que a medida que aumentamos la precisión del instrumento de medición observamos que el fractal aumenta en longitud o perímetro.
  • Autosimilitud en algunos casos.
    Existen fractales plenamente autosimilares de manera que el todo está formado por pequeños fragmentos parecidos al todo.


  
Ø  En clase analizamos el triángulo de Sierpinski, el matemático polaco Waclav Sierpinski (1882-1969), construyó este triángulo en 1919 del modo siguiente:
    Iteración (0): Construimos un triángulo equilátero de lado a igual a 10 cm.

 Iteración 1: Se Unen los puntos medios de los lados y resulta la siguiente figura:

Iteración 2: Repetimos el proceso y obtengo la siguiente figura:


Iteración 3: Repetimos lo mismo obteniendo la figura siguiente:
Iteración 4:





    A continuación presentamos el siguiente análisis del triángulo de Sierpinski


Del triángulo original de área= 43.3 cm2 marcamos los puntos medios de sus lados y los unimos formando un triángulo invertido que eliminamos del original. Dividido el triángulo en 4 partes iguales despreciamos la central y obtenemos un área en la 1ª iteración de ¾ del original. 




Aplicando este proceso en las siguientes iteraciones obtenemos:  


Ø  El alcance de nuestra clase no concluyó ahí, lo siguiente fue construir la serie de Fibonacci con el programa de turtle art humildemente presento mí versión de la solución.








 Ø  El maestro sugirió realizar tarjetas fractales



* Comentarios

Ø  El cumulo de conocimientos aprendidos de esta materia me parece impactante en mí formación académica. Además lo que estoy aprendiendo sobre el tema es relevante ya que me permite aprender estrategias y enseñar de una mejor manera la geometría.

Ø  El conocer la geometría fractal me fue súper interesante así como el concepto de la dimensión fraccionaria.

Ø  Conocer las sucesiones implicadas en el triángulo de Sierpinski resulto una tarea muy interesante.


 Ø  La clase de este sábado fue verdaderamente maravillosa ya que el maestro nos enseñó también el programa fractal time con el que se pueden diseñar fractales.



* Pregunta importante


¿Buscar actividades  permanentes que favorezcan el aprendizaje de mis alumnos?

¿Cómo diseñar situaciones de aprendizaje usando herramientas tecnológicas? 


Fuentes consultadas:




http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/PUEMAC_2008/fractales/html/




jueves, 18 de abril de 2013

TOPOLOGÍA


Bitácora 11
TOPOLOGÍA


* Reflexiones sobre la clase del sábado
13 de abril de 2013


Ø  Lo que me parece trascendente de este día de trabajo es nuevamente el volumen de aprendizajes adquiridos.

Ø  La clase del sábado fue muy interesante ya que conocí  Coggle que es una sencilla herramienta 2.0 para elaborar esquemas y mapas conceptuales con la ventaja de que pueden ser colaborativos. Con Coogle se pueden confeccionar mapas mentales sobre conceptos relacionados con los contenidos de clase de forma sencilla y bastante rápida. Es útil para cualquier materia, los mapas se comparten fácilmente en internet gracias a la URL que proporciona la herramienta, además se pueden descargar como PDF y PNG. Es una herramienta aconsejable también para los trabajos de nuestros alumnos. En la clase del sábado trabajamos en colaboración para elaborar un mapa conceptual relativo a los diferentes tipos de geometrías.

Ø  En la clase se abordó el  concepto de topología que es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. La topología es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. Lo cual nos llevó a conocer el problema de los siete puentes de  Königsberg y como el matemático suizo Leonard Euler lo resolvió.



Ø  La explicación del problema de los siete puentes de  Königsberg nos llevó de paso a conocer la teoría de los nudos (rama de la topología que se encarga de estudiar el objeto matemático que abstrae la noción cotidiana de nudo) y la teoría de grafos (estructuras que constan de dos partes, el conjunto de vértices, nodos o puntos; y el conjunto de aristas, líneas o lados que pueden ser orientados o no.

Ø  El alcance de nuestra clase no concluyó ahí, lo siguiente fue construir algunas de las formas geométricas que son ejemplos importantes en topología como lo son la cinta o banda de Möbius y el hexaflexágono.

    La banda o cinta de Möbius, es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. Fue descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

    Para construirla tomamos una tira de papel, cuyos extremos unimos girándolos.


La banda de Möbius posee las siguientes propiedades:

  • Es una superficie que sólo posee una cara:

Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.

  • Tiene sólo un borde:

Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.

  • Es una superficie no orientable:

Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.

Aplicaciones

Las bandas de Möbius tienen también utilidad práctica. En 1923, Lee Forest obtuvo una patente norteamericana para una película de esta forma, en la que podrían registrarse ambas caras. Más recientemente, la misma idea ha sido  aplicada a cintas magnetofónicas, con lo que la cinta de Möbius puede funcionar el doble de tiempo que lo que haría  otra normal. Se han otorgado diversas patentes para cintas transportadoras diseñadas a fin de que sufran igual desgaste por ambos lados. 

Por ultimo comenzamos la elaboración de un hexaflexágono esta actividad fue tan interesante, pues nunca me imaginé que con sólo trazar triángulos equiláteros pudiera salir este artilugio de papel, pienso que es una actividad que implementare con mis alumnos.


HEXAFLEXÁGONO


Investigando más sobre los hexaflexágonos encontré lo siguiente:

Flexágonoflexagon en inglés, es la palabra que define un intrigante ingenio de papel. Su característica principal es que al doblarlos de una determinada forma permiten ver nuevas caras que en principio estaban ocultas.

Fueron descubiertos en 1939 por Arthur Stone, un estudiante inglés de la Universidad de Princeton. Más tarde, ya en la década de los 50 fue el gran Martin Gardner el que los popularizó.
Hay flexágonos de muchos tipos. Normalmente son cuadrados (tetraflexágonos) o hexagonales (hexaflexágonos).


Ø  Para cerrar con broche de oro empezamos a aprender a manejar Turtle Art el cual es un entorno de programación gráfico basado en el lenguaje LOGO, en el que se pueden hacer pequeños programas y realizar diseños con una tortuga, realizando formas y diseños en la pantalla del ordenador, es decir, permite la realización de diseños basados en la programación de los desplazamientos de la tortuga.
    LOGO es un lenguaje de programación. Fue diseñado con fines didácticos por Danny Bobrow, Wally Feurzeig y Seymour Papert.
    La idea de Turtle Art gira entorno a una pequeña tortuga (cursor gráfico) a la cual tenemos que programar su comportamiento como si fuera un robot. Ésta sigue todas las instrucciones que le demos. Es capaz de dibujar imágenes, pintar y realizar diferentes diseños en la pantalla. Por ejemplo:





* Comentarios

Ø  El cumulo de conocimientos aprendidos de esta materia me parece impactante en mí formación académica. Además lo que estoy aprendiendo sobre el tema es relevante ya que me permite aprender estrategias y enseñar de una mejor manera la geometría.

Ø  La elaboración de la banda de Möbius y el hexaflexágono.   
     Son una forma didáctica e interesante de enseñar y reflexionar sobre las aplicaciones de la geometría.

Ø  Programas educativos como Turtle Art permiten modelar o visualizar  problemas o situaciones matemáticas, ayudando a comprender a superar obstáculos presentes en el proceso de enseñanza-aprendizaje.
Ø  Me entusiasmo conocer el problema de los siete puentes de  Königsberg y como el matemático suizo Leonard Euler lo resolvió. Y de paso conocer conceptos importantes de topología.



* Pregunta importante


¿Buscar actividades  permanentes que favorezcan el aprendizaje de mis alumnos?


Fuentes consultadas: