LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES: marzo 2013

Bitácora 10

RAZÓN DORADA

Una de las maravillas que nos ofrece la geometría es la razón dorada o también conocida como número áureo, número dorado, razón áurea, media áurea, proporción áurea o divina proporción. Es la relación o proporción que guardan entre sí dos segmentos de rectas. Puede encontrarse no solo en figuras geométricas, sino también en la naturaleza.

El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b. El valor de esta relación es un número que, como también demostró Euclides, no puede ser descrito como la razón de dos números enteros (es decir, es irracional y posee decimales infinitos) cuyo su valor aproximado es 1,6180339887498..., dicho número está representado por la letra griega φ (phi), en honor al escultor griego Fidias.

En 1525, Alberto Durero publicó su “Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas”, en la que describe cómo trazar con regla y compás la espiral basada en la sección áurea, la misma que hoy conocemos como “espiral de Durero”.

Leonardo Fibonacci, descubrió la serie que nos lleva a phi. En el siglo XII, descubrió una serie numérica simple que es la base de la increíble relación que encontramos detrás de phi. Empezando con 0 y 1, cada número de la serie es simplemente la suma de los dos anteriores. Por lo tanto, la serie queda construida de la siguiente manera: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

La razón (proporción) de cada par sucesivo de números en la serie se aproxima a phi (1.618...). Así es como si dividimos 5 entre 3 obtenemos 1.666..., y 8 entre 5 da 1.60. En la medida en la que vayamos más lejos del 0 (punto de inicio de la secuencia), más nos acercamos al valor de phi.

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martín Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las Matemáticas Puras Elementales).

El número áureo posee muchas propiedades interesantes y aparece, en los sitios más dispares dándole un carácter estético especial a los objetos que contienen este número, es posible encontrar esta relación en diversas obras de la arquitectura y el arte. Por ejemplo, el Hombre de Vitruvio, dibujado por Leonardo Da Vinci y considerado un ideal de belleza, está proporcionado según el número áureo. También el rostro de la Mona Lisa encierra un “rectángulo dorado” perfecto.

La proporción aurea se encuentra en las espirales del interior de los caracoles. En la arquitectura la relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más atractivos y agradables a la vista. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción.

El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos conscientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación.

Para poder medir la belleza es necesario construir un instrumento de medición, un compás dorado. Para ello es necesario seguir el proceso de construcción:

1. Traza un segmento de recta AB

2. Encuentra el punto medio del segmento (C).

3. Traza una perpendicular a la recta AB, a partir del punto B.

4. Haciendo centro en el punto medio de este segmento (C) y tomando como extremo B traza un circulo con radio CB que corte a la perpendicular en el punto D.

5. Une los puntos AD mediante un segmento, éste será la hipotenusa del triángulo rectángulo.

6. El punto donde la hipotenusa o segmento AD corta la circunferencia, se nombra E.

7. Haciendo centro en A y como extremo E, traza una segunda circunferencia de radio AE.

8. El punto donde ésta segunda circunferencia corta al segmento AB, se nombra F, y es el punto que buscamos para realizar nuestro compás.

9. Una vez encontrado ese punto trazamos dos segmentos AB en una superficie resistente, puede ser plástico o cartón grueso y ubicamos el punto F en ellos para unir los dos segmentos mediante una chincheta, así es como terminamos nuestro compás y podemos utilizarlo para saber si un objeto tiene la razón dorada.

Una vez culminado el proceso al fin tenemos nuestro compás

Veamos entonces si se da la proporción áurea en los objetos.

Al medir el lado más grande de la credencial y compararlo con el lado menor observamos que la abertura del compás no cambia, se mantiene, cumpliendo así con la proporción dorada.

Bien ahora veamos el caso de una cajetilla de cigarros.

Con razón me gusta fumar la cajetilla también cumple con la proporción áurea.

Ahora veamos qué pasa con la escultura la Venus de Milo.

La Venus de Milo cumple con la proporción áurea.

Veamos lo que sucede con la puerta de Alcalá de Madrid.

La puerta de Alcalá también cumple con la proporción áurea.

Veamos ahora que pasa con la mundialmente famosa muñeca Barbie.

La curvilínea Barbie no cumple con la proporción áurea.

Ahora veamos lo que sucede con la Monster High

La muñeca no cumple con la proporción áurea.

Veamos ahora que sucede con la compañera Jocelyn.

La compañera Jocelyn cumple más que satisfactoriamente con la proporción áurea.

TESELACIONES

MAURITS CORNELIS ESCHER

Maurits Cornelis Escher, nació el 17 de junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda). Fue un artista Holandés conocido por sus grabados en madera, xilografías y litografías que tratan sobre figuras imposibles, teselados y mundos imaginarios.

Impulsado por su padre se introdujo al mundo de la carpintería y la Arquitectura, sin embargo, poco después descubrió su pasión en las artes gráficas; sus primeras obras tendieron a retratar de forma realista los paisajes y la arquitectura relacionados con la partición regular del plano y el uso de patrones que rellenan el espacio sin dejar ningún hueco.

Una de sus principales características es la dualidad y la búsqueda del equilibrio, la utilización del blanco y el negro, la simetría, el infinito frente a lo limitado, el que todo objeto representado tenga su contrapartida. Bruno Ernst, uno de sus biógrafos y amigos, clasifica sus obras en tres temas y diversas categorías:

La estructura del espacio – Incluyendo paisajes, compenetración del mundo y cuerpos matemáticos.

La estructura de la superficie – Metamorfosis, ciclos y aproximaciones al infinito.

La proyección del espacio tridimensional en el plano – Representación pictórica tradicional, perspectiva y figuras imposibles.

Escher es uno de los más grandes artistas gráficos del siglo XX, «uno de los más reconocibles y admirados por el gran público. Sus más populares obras: figuras imposibles, fondos reticulados con diversos patrones y mundos imaginarios han sido reproducidas en portadas de libros, revistas, campañas publicitarias y en todo tipo de formatos. En 1969 realizó su último trabajo original, serpientes. Falleció el 27 de marzo de 1972. A lo largo de su carrera realizó más de 400 litografías y grabados en madera, y también unos 2.000 dibujos y borradores. Un grupo importante de sus obras está expuesto de forma permanente en el Museo Escher en La Haya, Holanda.

¿QUÉ ES UNA TESELACIÓN?

Tesela (Tile – Tessellation): se define como cada pieza que se utilizaba antiguamente para formar los pavimentos de mosaico. Se traduce Tile como: “azulejo”, “loseta”, “mosaico”, “baldosa”, “losa”, “baldosín”, “teja”. Por lo tanto teselar (Tiling – Tessellate): es la acción de cubrir con azulejos o teselas.

Así, un teselado o teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

1. que no queden huecos

2. que no se superpongan las figuras.

Los teselados se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son los triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos.
La construcción de teselados consiste en dibujar una figura geométrica que por sí sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utilizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con este método. A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños de gran belleza artística.

Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas, etc.

Escher se divirtió teselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales. Ejemplos de esto son las siguientes imágenes:

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Son las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. La nueva figura se llama "homólogo (a)" de la original y cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo plano.

Las transformaciones se clasifican en:

DIRECTA: el homólogo conserva el sentido del original y se pueden hacer coincidir sin salir del plano.

INVERSA: el sentido del homólogo y del original son contrarios.

También se pueden clasificar de acuerdo con la forma del homólogo con respecto al original en:

ISOMÉTRICAS

El homólogo conserva las dimensiones y ángulos, la transformación conserva las distancias. Puede ser: simetría axial y puntual, rotación y traslación.

SIMETRÍA AXIAL: Una simetría axial de eje “e” es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P’ tal que la recta “e” es mediatriz del segmento PP’. Las simetrías axiales son movimientos inversos porque para hacer coincidir una figura con su simétrica es necesario sacarla del plano y abatirla de nuevo sobre la otra cara. Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.

En la siguiente figura puedes observar como es el comportamiento de la simetría axial.

(Da clic sobre el enlace azul)

ROTACION: Es una transformación geométrica directa, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras; el sentido de rotación puede ser positivo (en contra del sentido horario) o negativo (a favor del sentido horario).

Mueve el deslizador para observar la rotación de la imagen y ademas se pueden mover los puntos para que se observe cómo se mantiene el tamaño y forma.
(Da clic sobre el enlace azul)

TRASLACIÓN: Es una transformación puntual y directa, por la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A' también del plano. El punto A' es el punto trasladado de A. Un punto y su trasladado se dice que son homólogos, siendo v→ el vector que define la traslación. En la transformación se mantienen la forma y el tamaño de las figuras, a las cuales deslizan según el vector.

Mueve el deslizador y los puntos para que observes cómo se mantiene la simetría de la otra figura.
Traslación. (Da clic sobre el enlace azul)

SIMETRÍA PUNTUAL: Una simetría puntual de centro O es una transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P’ tal que O es el punto medio del segmento PP’. Una simetría de este tipo coincide con un giro del mismo centro y ángulo 180º. Es, por tanto, un movimiento directo.

ISOMÓRFICAS

El homólogo conserva la forma y los ángulos. Existe proporcionalidad entre las dimensiones del homólogo con el original, una de ellas es la homotecia.

HOMOTECIA: Formación de figuras semejantes en las que los puntos correspondientes quedan alineados dos a dos con respecto a otro punto fijo. Una homotecia de centro O y de razón a , lleva a toda recta que pasa por O a sí misma, y a una recta L que no pasa por O, a una recta L´, paralela a L. Hemos de tener en cuenta que los lados aumentan si a>0, disminuyen si a<0 y se mantienen si a=1. Además, si a=1 decimos que los triángulos son congruentes, es decir, si los lados correspondientes son iguales y sus ángulos correspondientes son iguales.

En la siguiente figura puedes observar como es el comportamiento de la homotecia.

(Da clic sobre el enlace azul)

ANAMÓRFICAS

Cambia la forma de la figura original. Una de ellas es la inversión. (Se verán posteriormente).

* Reflexiones

Ø Pensar en ideas desde diferentes perspectivas puede llevar a una comprensión más profunda. Por ejemplo, las transformaciones geométricas pueden ayudar a los estudiantes a profundizar su comprensión de congruencia y simetría.

Ø Me agrada la forma en que estamos abordando la materia de geometría. Ya que ha propiciado en un servidor la búsqueda en la naturaleza de las formas geométricas. Además las ideas adquiridas en este curso me han ayudado a estimular en los alumnos la creatividad y una actitud positiva hacia las matemáticas.

* Comentarios

Ø Me pareció sumamente interesante la clase con los tres temas principales:

A. La razón dorada.

B. La teselación.

C. Transformaciones geométricas.

Los cuales son un paso más en el aprendizaje de esta importante rama de matemáticas.

Ø Me fascinó conocer el tema de la razón dorada y su relación con la naturaleza, arquitectura. Y varios campos del quehacer humano.

Saber el porqué de que ciertas formas son atractivas a la vista.

Ø El conocer de la teselación me permitió conocer las obras de Escher. Que son bastante interesantes como las figuras imposibles.

Ø Las transformaciones geométricas tan imprescindibles para entender la simetría.

Ø Que conocimientos tan valiosos aprendimos en esta sesión.

* Preguntas